Сделал. Результат относительный. Щелчок происходит примерно в то же самое время, что загорается диод.
В случае запуска системы реле в принципе помогает, т.к. небольшой последующей задержки при включении усилителя хватает, чтобы щелчок не пролез.
Но при отключении системы всё-равно щелчок остается.
Реле убрал прямо в корпус звуковухи, оно несколько греется + вероятно его нахождение там тоже может давать какие-то помехи/наводки на плату карты.
Наверное, лучше всего усилителем управлять каким-нибудь RelayBoard или Arduino (который можно в комплексе и для многих других вещей использовать). Буду разбирать, оставлю диод и звуковуху в покое.