GET и POST запросы можно посылать и с WiFi модулем, только для этого нужно написать PHP скрипт, выложить его где нибудь в интернет(есть бесплатные сервисы) и все запросы направлять через этот скрипт.
Для Ваших целей лучше использовать WiFi роутер с прошивкой CyberWrt, Ethernet Shield стоит столько же? но возможности у него ограничены




Ответить с цитированием